Như đã thảo luận ở phần trước, thuyết tương đối hẹp dựa trên sự tồn tại của hệ quy chiếu quán tính, những hệ chuyển động với vận tốc không đổi và luôn luôn có thể gắn lên chúng những hệ tọa độ mà khoảng cách riêng và thời gian riêng không phụ thuộc vào vị trí. Trong khi thuyết tương đối đặc biệt và những hệ quả của nó đã được kiểm tra vô số lần trong các máy gia tốc vật lý hạt năng lượng cao, nơi bỏ qua được tác động của lực hấp dẫn, rõ ràng rằng các tiên đề cơ sở của thuyết tương đối hẹp không phù hợp với sự có mặt của một trường hấp dẫn. Xem thêm các bài thí nghiệm Eötvös và GPS về những cơ sở thực nghiệm cho thấy điều này. Cũng nhận thấy rằng các phương trình của cơ học Newton không bất biến dưới phép biến đổi Lorentz (tính bất biến của phương trình Maxwell là một đòi hỏi cơ bản trong sự phát triển của thuyết tương đối hẹp). Kết quả là, tương tác hấp dẫn phải cần thiết xuất hiện thông qua sự mở rộng các định luật vật lý bao hàm các tiên đề của thuyết tương đối hẹp. Như chỉ ra ở bên dưới, điều này cho phép việc mở rộng các khái niệm và định nghĩa trong không thời gian như là một đa tạp phẳng sang thành một đa tạp cong.

Về mặt lịch sử, xuất phát điểm của sự phát triển thuyết tương đối tổng quát đó là trình bày cách phát biểu của nguyên lý tương đương.[27] Trong cách phát biểu mạnh: nguyên lý tương đương khẳng định rằng các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu rơi tự do là giống với khi chúng ở trong hệ quy chiếu quán tính. Nội dung này đến từ thực tế rằng, ít nhất trên phạm vi cục bộ, không thể phân biệt được thông qua các thí nghiệm và đo đạc vật lý một hệ quy chiếu quán tính với một hệ quy chiếu đang rơi tự do trong trường hấp dẫn.[28] Trong cả hai hệ, chuyển động của vật không phụ thuộc vào khối lượng cũng như thành phần vật liệu cấu tạo nên nó. Bản chất của nguyên lý đó là hấp dẫn ngăn cản sự tồn tại của một hệ quy chiếu quán tính và cách để tạo ra một hệ quy chiếu quán tính đó là loại bỏ hấp dẫn bằng quá trình rơi tự do. Cũng có dạng phát biểu "yếu"của nguyên lý tương đương, tạo thành phát biểu bổ sung cho nguyên lý tương đương mạnh: các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu không quán tính (có gia tốc) là như nhau so với khi chúng trong hệ quy chiếu nhúng vào một trường hấp dẫn. Bản chất của cách phát biểu thứ hai này đó là trường hấp dẫn thể hiện giống với hệ quy chiếu phi quán tính (có gia tốc).

Theo sau sự logic này, lý thuyết bao gồm các hiệu ứng hấp dẫn bắt đầu từ sự phân tích các hệ quy chiếu phi quán tính, cụ thể hơn, từ tính chất quan trọng của chúng khi được miêu tả bằng một metric mà không thể đưa về dạng (103). Lúc đó nguyên lý tương đương được sử dụng để tìm ra sự biểu hiện của một trường hấp dẫn mà gắn liền với một tenxơ mêtric mà sẽ khác hẳn với dạng (103). Ví dụ, giả sử trong không thời gian phẳng phủ bởi hệ tọa độ Descarte chúng ta thực hiện sự thay đổi hệ tọa độ thông qua biến đổi tọa độ, từ một hệ quy chiếu quán tính sang hệ quy chiếu khác quay với vận tốc góc Ω {\displaystyle \Omega } quanh trục z:

x = x ′ c o s ( Ω t ) − y ′ s i n ( Ω t ) , y = x ′ s i n ( Ω t ) + y ′ c o s ( Ω t ) {\displaystyle x=x'cos(\Omega t)-y'sin(\Omega t),\quad y=x'sin(\Omega t)+y'cos(\Omega t)}

(125)

z ′ = z , t ′ = t {\displaystyle z'=z,\quad t'=t}

(126)

Hệ quy chiếu mới rõ ràng là phi quán tính (do xuất hiện lực hướng tâm và lực Coriolis) và mêtric trong hệ quy chiếu mới này thay đổi từ dạng chéo hóa như ở (103) thành dạng không chéo hóa biểu diễn bằng nguyên tố đoạn:

d s ′ 2 = − [ 1 − Ω 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] d t ′ 2 + d x ′ 2 + d y ′ 2 + d z ′ 2 − 2 Ω y ′ d x ′ d t ′ + 2 Ω x ′ d y ′ d t ′ {\displaystyle ds'^{2}=-[1-\Omega ^{2}(x'^{2}+y'^{2})]dt'^{2}+dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}-2\Omega y'dx'dt'+2\Omega x'dy'dt'}

(127)

Ở đây, một hệ quy chiếu phi quán tính, mà chúng ta đã thấy là có liên quan đến trường hấp dẫn, có thể được miêu tả bằng một mêtric không có dạng đường chéo. Từ ví dụ này có thể phỏng đoán rằng mêtric miêu tả trường hấp dẫn có thể khác với dạng mêtric trong (103). Theo nghĩa này, hấp dẫn không còn được coi là một dạng "lực nữa" mà là biểu hiện của sự cong không thời gian.

Chú ý rằng, trong ví dụ ở trên, không thời gian luôn luôn là phẳng độc lập với cách chọn hệ quy chiếu, do vậy luôn có thể từ mêtric (127) viết trở lại dạng biểu diễn ma trận có tính đối xứng với các hệ số không đổi. Điều này là không thể trong không thời gian cong chân chính và đây quả thực là một trong những tính chất khác biệt của không thời gian cong, mà chúng ta có thể coi nó là phẳng trên phạm vi cục bộ, trong khi không thời gian phẳng lại phẳng trên phạm vi toàn cục.[29]

Bây giờ chúng ta có thể tóm lược những miêu tả ở trên, đặc biệt về tenxơ mêtric miêu tả trường hấp dẫn, để đi đến định nghĩa toán học chính xác về không thời gian không phẳng. Cụ thể hơn, chúng ta xác định một không thời gian cong là một đa tạp mà một điểm P {\displaystyle {\mathcal {P}}} trên nó có thể xác định được một tập hợp hệ tọa độ x μ {\displaystyle x^{\mu }} sao cho mêtric giả sử có dạng[30]

g μ ν ( x μ ) = η μ ν + O ( ( x μ ) 2 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\mu })=\eta _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}((x^{\mu })^{2})}

(128)

Nói cách khác, trong khi một không thời gian cong có thể xuất hiện dưới dạng phẳng cục bộ trong lân cận của một điểm của bất kỳ, với g μ ν ( P ) = η μ ν ( P ) {\displaystyle g_{\mu \nu }({\mathcal {P}})=\eta _{\mu \nu }({\mathcal {P}})} , nó không thể phẳng khi xét trên mọi điểm. Kết luận này và với độ yếu của trường hấp dẫn trên Trái Đất cũng giải thích sự thành công của thuyết tương đối hẹp khi nó miêu tả với độ chính xác cao các hiện tượng và kết quả vật lý trên phạm vi nhỏ của mọi thí nghiệm trong các phòng thí nghiệm.

Đạo hàm Lie

Một khái niệm hữu ích khi lần đầu tiên thảo luận về đạo hàm trong không thời gian cong đó là đạo hàm Lie của một trường vectơ tương ứng với một trường vectơ khác. Để đưa ra toán tử vi phân mới này, đầu tiên chúng ta cần gắn cho một trường vectơ bất kỳ V ( x μ ) {\displaystyle {\boldsymbol {V}}(x^{\mu })} một họ các đường cong C V {\displaystyle {\mathcal {C}}_{V}} , gọi là đoàn đường cong của V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} , với V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} là vectơ tiếp tuyến, tức là

V ( x μ ) = d x μ d λ , {\displaystyle V(x^{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }},}

(129)

với λ {\displaystyle \lambda } là tham số thay đổi dọc cung. Thứ hai, chúng ta thấy rằng sự hội tụ cung cấp một ánh xạ ϕ λ {\displaystyle \phi _{\lambda }} từ đa tạp vào chính nó. Thực tế, tại một điểm P bất kỳ trên đa tạp, tồn tại một và chỉ một đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua nó. Do vậy điểm P có thể được ánh xạ vào điểm Q bằng cách kéo P dọc theo cung thuộc đoàn đường cong mà nó thuộc về, tức là

Q = ϕ λ ( P ) , {\displaystyle Q=\phi _{\lambda }(P),}

(130)

với P = C ( λ 0 ) , Q = C ( λ 0 + λ ) {\displaystyle P={\mathcal {C}}(\lambda _{0}),\quad Q={\mathcal {C}}(\lambda _{0}+\lambda )} với C {\displaystyle {\mathcal {C}}} là đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua hai điểm P và Q. Rõ ràng là ánh xạ (130) có thể kéo không chỉ các điểm mà còn là toàn bộ một đường cong hay tập hợp của các điểm. Bây giờ giả sử có một trường vectơ thứ hai U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} gắn với đoàn C U {\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}} . Ý tưởng cơ bản về đạo hàm Lie của trường vectơ U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} tương ứng với trường vectơ V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} đó là so sánh vectơ U ( Q ) {\displaystyle {\boldsymbol {U}}(Q)} với vectơ nhận được sau khi kéo U ( P ) {\displaystyle {\boldsymbol {U}}(P)} dọc theo đoàn đường cong của V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} . Theo đó, đạo hàm Lie của U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} dọc theo V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} là

L V U = lim λ → 0 U ( Q ) − ϕ λ ∗ ( U ( P ) ) λ = lim λ → 0 U ( ϕ λ ( P ) ) − ϕ λ ∗ ( U ( P ) ) λ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {U}}=\lim _{\lambda \to 0}{\frac {{\boldsymbol {U}}(Q)-\phi _{\lambda }^{*}({\boldsymbol {U}}(P))}{\lambda }}=\lim _{\lambda \to 0}{\frac {{\boldsymbol {U}}(\phi _{\lambda }(P))-\phi _{\lambda }^{*}({\boldsymbol {U}}(P))}{\lambda }}}

(131)

với ϕ λ ∗ ( U ( P ) ) {\displaystyle \phi _{\lambda }^{*}({\boldsymbol {U}}(P))} là vectơ thu được bằng cách lấy vectơ tiếp tuyến tại điểm P thuộc đường cong của đoàn đường cong C U {\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}} và kéo (hay dịch chuyển) nó từ P tới Q. Hình 1.2 minh họa hai họ đoàn đường cong và các vectơ tiếp tuyến tương ứng trên chúng.

Theo thành phần tọa độ, phương trình (130) có thể biểu diễn theo phép biến đổi tọa độ như sau:

P ( x ) ⟶ Q ( x ′ ) {\displaystyle P(x)\longrightarrow Q(x')}

(132)

x μ ⟶ x μ ′ = x μ + λ V μ {\displaystyle x^{\mu }\longrightarrow x^{{\mu }'}=x^{\mu }+\lambda V^{\mu }}

(133)

trong đó λ V μ {\displaystyle \lambda V^{\mu }} là sự thay đổi tọa độ dọc theo đường cong. Vì đạo hàm của x μ ′ {\displaystyle x^{{\mu }'}} là[31]

∂ ν x μ ′ = δ ν μ + λ ∂ ν V μ {\displaystyle \partial _{\nu }x^{{\mu }'}=\delta _{\nu }^{\mu }+\lambda \partial _{\nu }V^{\mu }}

(134)

từ đây vec tơ U μ {\displaystyle U^{\mu }} biến đổi như sau

U μ ′ ( x ′ ) = Λ ν μ ′ U ν = U μ ( x ) + λ U ν ( x ) ∂ ν V μ {\displaystyle U^{{\mu }'}(x')=\Lambda _{\nu }^{{\mu }'}U^{\nu }=U^{\mu }(x)+\lambda U^{\nu }(x)\partial _{\nu }V^{\mu }}

(135)

Tập tin:DaohamLie.jpgHình 1.2. Minh họa hai họ đoàn đường cong C U {\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}} và C V {\displaystyle {\mathcal {C}}_{V}} với các trường vectơ tiếp tuyến tương ứng U và V. Chú ý sự khác nhau giữa trường vectơ U ( Q ) {\displaystyle {\boldsymbol {U}}(Q)} tại sự kiện Q (màu đỏ) và trường vectơ kéo tương đương ϕ λ ∗ ( U ( P ) ) {\displaystyle \phi _{\lambda }^{*}({\boldsymbol {U}}(P))} của U ( ϕ λ ( P ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {U}}(\phi _{\lambda }(P))} tại sự kiện P (màu cam).

Mặt khác, U μ ′ ( x ′ ) {\displaystyle U^{{\mu }'}(x')} trên vế trái của (135) có thể tính thông qua khai triển Taylor

U μ ′ ( x ′ ) = U μ ′ ( x ) + λ V ν ∂ ν U μ + O ( λ 2 ) , {\displaystyle U^{{\mu }'}(x')=U^{{\mu }'}(x)+\lambda V^{\nu }\partial _{\nu }U^{\mu }+{\mathcal {O}}(\lambda ^{2}),}

(136)

và kết hợp hai phương trình cuối ta thu được

U μ = U μ ′ + λ ( V ν ∂ ν U μ − U ν ∂ ν V μ ) . {\displaystyle U^{\mu }=U^{{\mu }'}+\lambda (V^{\nu }\partial _{\nu }U^{\mu }-U^{\nu }\partial _{\nu }V^{\mu }).}

(137)

Nếu quay trở lại định nghĩa (131), chúng ta có thể suy luận ra công thức đạo hàm Lie của trường vectơ trong thành phần tọa độ hiệp biến và phản biến như sau

( L V U ) μ = V ν ∂ ν U μ − U ν ∂ ν V μ ( L V U ) μ = V ν ∂ ν U μ − U ν ∂ ν V μ {\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {U}})^{\mu }&=V^{\nu }\partial _{\nu }U^{\mu }-U^{\nu }\partial _{\nu }V^{\mu }\\({\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {U}})_{\mu }&=V^{\nu }\partial _{\nu }U_{\mu }-U_{\nu }\partial _{\nu }V^{\mu }\\\end{aligned}}}

(138; 139)

Điều mà chúng ta đã tìm thấy đó là có thể đặc biệt hóa một trường vec tơ thành một trường vô hướng hay tổng quát hóa thành một trường tenxơ bất kỳ. Ví dụ trong trường hợp hàm vô hướng ϕ {\displaystyle \phi } và một trường tenxơ tổng quát T, chúng ta có thể lặp lại lập luận ở trên và có

L ϕ V T = ϕ L V T − V L T ϕ , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\phi {\boldsymbol {V}}}{\boldsymbol {T}}=\phi {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {T}}-{\boldsymbol {V}}{\mathcal {L}}_{\boldsymbol {T}}\phi ,}

(140)

L V ϕ = V ν ∂ ν ϕ ν = d ϕ d λ . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}\phi =V^{\nu }\partial _{\nu }\phi _{\nu }={\frac {d\phi }{d\lambda }}.}

(141)

với công thức thứ hai chỉ đơn giản là đạo hàm của trường vô hướng dọc đoàn đường cong V, do đó nó nhấn mạnh rằng đạo hàm Lie có thể coi là sự tổng quát hóa của đạo hàm đối lưu (convective derivative hay material derivative) cho một đa tạp bất kỳ đối với một trường vô hướng dọc một đường cong (cũng xem phương trình (176)).

Rõ ràng từ định nghĩa (131) ta thấy đạo hàm Lie là một toán tử tuyến tính, nghĩa là đối với hai tenxơ tổng quát Y , Z {\displaystyle {\boldsymbol {Y,Z}}} đạo hàm Lie của tổ hợp tuyến tính hai tenxơ này bằng

L V ( a Y α β + b Z μ ν ) = a L V Y α β + b L V Z μ ν , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}(aY^{\alpha \beta }+bZ^{\mu \nu })=a{\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}Y^{\alpha \beta }+b{\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}Z^{\mu \nu },}

(142)

với a và b là hai hằng số thực. Tương tự, quy tắc Leibnitz cũng áp dụng cho đạo hàm Lie

L V ( Z μ ν Y α β ) = L V ( Z μ ν ) Y α β + Z μ ν L V ( Y α β ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}(Z^{\mu \nu }Y_{\alpha \beta })={\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}(Z^{\mu \nu })Y_{\alpha \beta }+Z^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}(Y_{\alpha \beta }),}

(143)

Hơn nữa, đạo hàm Lie ánh xạ một tenxơ kiểu (m,n) vào một tenxơ khác có cùng kiểu. Do vậy, đạo hàm Lie của ten xơ kiểu (1,1) là

L V T α β = V μ ∂ μ T α β − T μ β ∂ μ V α + T α μ ∂ β V μ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}T^{\alpha }{}_{\beta }=V^{\mu }\partial _{\mu }T^{\alpha }{}_{\beta }-T^{\mu }{}_{\beta }\partial _{\mu }V^{\alpha }+T^{\alpha }{}_{\mu }\partial _{\beta }V^{\mu }}

(144)

Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng công thức (138) có thể viết thành dạng thu gọn là

L V U = [ V , U ] {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {U}}=[{\boldsymbol {V,U}}]}

(145)

mà chúng ta đã bỏ đi dạng thành phần, [ V , U ] {\displaystyle [{\boldsymbol {V,U}}]} còn được gọi là dấu ngoặc Lie và là thành phần cơ bản trong đại số Lie[32]. Dấu ngoặc Lie cũng được sử dụng để nhấn mạnh một tính chất quan trọng của cơ sở tọa độ e μ = ∂ μ {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\mu }={\boldsymbol {\partial }}_{\mu }} . Nói chung, dấu ngoặc Lie của hai cơ sở tọa độ bất kỳ có biểu diễn theo cùng một cơ sở như

[ e μ , e ν ] = C μ ν λ e λ {\displaystyle [{\boldsymbol {e}}_{\mu },{\boldsymbol {e}}_{\nu }]=C_{\mu \nu }^{\lambda }{\boldsymbol {e}}_{\lambda }}

(146)

với các thành phần C μ ν λ {\displaystyle C_{\mu \nu }^{\lambda }} , mà không phải là thành phần của một tenxơ, được đặt tên là các hệ số cấu trúc. Có thể chứng minh được rằng[33] một hệ cơ sở vectơ là cơ sở tọa độ khi và chỉ khi mọi hệ số cấu trúc của chúng bằng 0.

Từ định nghĩa e μ = ∂ μ {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\mu }={\boldsymbol {\partial }}_{\mu }} (ví dụ xem phương trình (37)), thì cơ sở tọa độ có thể được xây dựng từ một hệ tọa độ bất kỳ, ví dụ { e t , e x , e y , e z } = { ∂ t , ∂ x , ∂ y , ∂ z } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{t},{\boldsymbol {e}}_{x},{\boldsymbol {e}}_{y},{\boldsymbol {e}}_{z}\}=\{{\boldsymbol {\partial }}_{t},{\boldsymbol {\partial }}_{x},{\boldsymbol {\partial }}_{y},{\boldsymbol {\partial }}_{z}\}} là cơ sở tọa độ trong trường hợp hệ tọa độ Descartes và { e t , e r , e θ , e ϕ } = { ∂ t , ∂ r , ∂ θ , ∂ ϕ } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{t},{\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\phi }\}=\{{\boldsymbol {\partial }}_{t},{\boldsymbol {\partial }}_{r},{\boldsymbol {\partial }}_{\theta },{\boldsymbol {\partial }}_{\phi }\}} là cơ sở tọa độ cho hệ tọa độ cầu. Rõ ràng các thành phần của hệ cơ sở tọa độ chỉ là e μ ν = δ μ ν {\displaystyle e_{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }} khi tính trong cùng một hệ cơ sở đó, nhưng không phải mọi hệ cơ sở tọa độ là trực chuẩn hay e μ . e ν ≠ η μ ν {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\mu }.{\boldsymbol {e}}_{\nu }\neq \eta _{\mu \nu }} . Quả vậy, khi sử dụng hệ tọa độ cong, ngay cả trong không thời gian phẳng, cơ sở tọa độ nói chung không là hệ trực chuẩn, nhưng có thể dễ dàng xây dựng lên một hệ trực chuẩn từ hệ này. Ví dụ, xét cơ sở tọa độ { e t , e r , e θ , e ϕ } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{t},{\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\phi }\}} ta có thể xây dựng một hệ cơ sở trực chuẩn { e t ^ , e r ^ , e θ ^ , e ϕ ^ } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{\hat {t}},{\boldsymbol {e}}_{\hat {r}},{\boldsymbol {e}}_{\hat {\theta }},{\boldsymbol {e}}_{\hat {\phi }}\}} như

e t ^ = e t e r ^ = e r {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\hat {t}}={\boldsymbol {e}}_{t}\qquad {\boldsymbol {e}}_{\hat {r}}={\boldsymbol {e}}_{r}}

(147)

e θ ^ = 1 r e θ e ϕ ^ = 1 r s i n θ e ϕ {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\hat {\theta }}={\frac {1}{r}}{\boldsymbol {e}}_{\theta }\qquad {\boldsymbol {e}}_{\hat {\phi }}={\frac {1}{rsin\theta }}{\boldsymbol {e}}_{\phi }}

(148)

mà lúc này sẽ trở thành một hệ cơ sở trực chuẩn, chẳng hạn e μ ^ . e ν ^ = η μ ^ ν ^ {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\hat {\mu }}.{\boldsymbol {e}}_{\hat {\nu }}=\eta _{{\hat {\mu }}{\hat {\nu }}}} . Hơn nữa, nếu thành phần đầu tiên của một hệ cơ sở trực chuẩn là một vectơ 4-vận tốc của một quan sát viên, thì hệ cơ sở này được gọi là nhóm bốn (tetrad), và nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đo lường trong thuyết tương đối rộng vì những đo đạc trong hệ cơ sở nhóm bốn là tương đương với đo đạc trong một hệ quy chiếu quán tính.[34] Tính chất quan trọng của hệ cơ sở trực chuẩn mới (147) và (148) đó là nó không phải là hệ cơ sở tọa độ, vì không thể thực hiện phép biến đổi tọa độ đơn giản từ hệ tọa độ Descartes thành hệ này, hay một cách tương đương, các hệ số cấu trúc của hệ cơ sở trực chuẩn khác 0, ví dụ

C r ^ θ ^ θ = [ e r ^ , e θ ^ ] θ = ( L e r ^ e θ ^ ) θ = e r ^ ν ∂ ν e θ ^ θ − e θ ^ ν ∂ ν e r ^ θ = δ r ν ∂ ν ( 1 r ) = − 1 r 2 ≠ 0 {\displaystyle C_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}}^{\theta }=[{\boldsymbol {e}}_{\hat {r}},{\boldsymbol {e}}_{\hat {\theta }}]^{\theta }=({\mathcal {L}}_{{\boldsymbol {e}}_{\hat {r}}}{\boldsymbol {e}}_{\hat {\theta }})^{\theta }={\boldsymbol {e}}_{\hat {r}}^{\nu }\partial _{\nu }{\boldsymbol {e}}_{\hat {\theta }}^{\theta }-{\boldsymbol {e}}_{\hat {\theta }}^{\nu }\partial _{\nu }{\boldsymbol {e}}_{\hat {r}}^{\theta }=\delta _{r}^{\nu }\partial _{\nu }\left({\frac {1}{r}}\right)=-{\frac {1}{r^{2}}}\neq 0}

(149)

Vì lý do này mà cơ sở trực chuẩn như (147) và (148) còn được coi là cơ sở phi tọa độ. Kể từ đây chúng ta sẽ ám chỉ cơ sở trực chuẩn với ký hiệu mũ bên trên chỉ số hiệp biến.

Định nghĩa đạo hàm Lie là rất cơ bản mà có thể xác định khi không cần một liên thông hay mêtric nào.[35]

Đạo hàm hiệp biến và ký hiệu Christoffel

Khi xây dựng một toán tử vi phân mới nhằm mở rộng khái niệm đạo hàm từng phần sang cho không thời gian cong, chúng ta đã biết nó phải có tính chất chính xác gì. Đó là, khi tác dụng lên một tenxơ, toán tử vi phân mới này sẽ phải cho kết quả là một tenxơ mới. Đạo hàm từng phần chỉ thỏa mãn tính chất này đối với các phép biến đổi tọa độ tuyến tính. Tuy nhiên, dưới những điều kiện tổng quát hơn, chẳng hạn cho các biến đổi phi tuyến, kết quả của đạo hàm riêng không có tính chất giống như tenxơ. Ví dụ, xét biến đổi

V μ ′ = Λ μ μ ′ V μ {\displaystyle V^{{\mu }'}=\Lambda _{\mu }^{{\mu }'}V^{\mu }}

(19)

rồi thực hiện đạo hàm riêng đối với hệ tọa độ mới { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{{\mu }'}\}} ta có

∂ β ′ V μ ′ = ∂ μ x μ ′ ∂ β ′ V μ + ( ∂ μ ∂ β ′ x μ ′ ) V μ {\displaystyle \partial _{\beta '}V^{{\mu }'}=\partial _{\mu }x^{{\mu }'}\partial _{\beta '}V^{\mu }+\left(\partial _{\mu }\partial _{\beta '}x^{{\mu }'}\right)V^{\mu }}

(150)

Nếu biến đổi tọa độ { x μ } → { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}\rightarrow \{x^{{\mu }'}\}} là phi tuyến, thì số hạng thứ hai trong vế phải của phương trình (1.150) sẽ không triệt tiêu và đạo hàm riêng của các thành phần vectơ sẽ không biến đổi như một tenxơ. Thật may là việc xây dựng một toán tử vi phân với những tính chất đòi hỏi là không quá khó và chúng ta có thể bắt đầu bằng cách xét một trường vectơ U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} và một tập vectơ cơ sở { e μ } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{\mu }\}} mà biểu diễn các thành phần của trường vectơ trên đó, U = U μ e μ {\displaystyle {\boldsymbol {U}}=U^{\mu }{\boldsymbol {e}}_{\mu }} (xem phương trình (36)). Sau đó thực hiện tính đạo hàm

∂ ν U = ∂ ν U μ e μ + U μ ∂ ν e μ {\displaystyle \partial _{\nu }{\boldsymbol {U}}=\partial _{\nu }U^{\mu }{\boldsymbol {e}}_{\mu }+U^{\mu }\partial _{\nu }{\boldsymbol {e}}_{\mu }}

(151)

mà chúng ta có thể coi số hạng ∂ ν e μ {\displaystyle \partial _{\nu }{\boldsymbol {e}}_{\mu }} như là một vectơ được viết trong cùng một hệ cơ sở vectơ { e μ } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{\mu }\}} hay

∂ ν e μ = Γ μ ν λ e λ {\displaystyle \partial _{\nu }{\boldsymbol {e}}_{\mu }=\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\boldsymbol {e}}_{\lambda }}

(152)

mà ở đây dễ dàng nhận ra rằng hệ số Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }} bị triệt tiêu trong không thời gian phẳng phủ bởi hệ tọa độ Descartes do trong trường hợp này vectơ cơ sở là không thay đổi. Chú ý rằng, nếu trong cùng một không thời gian phẳng mà được bao phủ bằng một hệ tọa độ khác, ví dụ như hệ tọa độ cầu, thì các hệ số này lại không bị triệt tiêu hoàn toàn. Và từ sự triệt tiêu của các hệ số Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }} chưa chắc đã kết luận được đó là không thời gian phẳng hay không. Kết hợp phương trình (151) với (152) ta có

∂ ν U = ( ∂ ν U μ + Γ ν λ μ U λ ) e μ = ( ∇ ν U μ ) e μ {\displaystyle \partial _{\nu }{\boldsymbol {U}}=\left(\partial _{\nu }U^{\mu }+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }U^{\lambda }\right){\boldsymbol {e}}_{\mu }=\left(\nabla _{\nu }U^{\mu }\right){\boldsymbol {e}}_{\mu }}

(153)

do vậy các thành phần của trường vectơ ∂ ν U {\displaystyle \partial _{\nu }{\boldsymbol {U}}} , biểu thức nằm trong dấu ngoặc của phương trình thứ hai trong (153), xác định lên đạo hàm hiệp biến của U μ {\displaystyle U^{\mu }} [36]

∇ ν U μ := ∂ ν U μ + Γ ν λ μ U λ {\displaystyle \nabla _{\nu }U^{\mu }:=\partial _{\nu }U^{\mu }+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }U^{\lambda }}

(154)

Hệ số Γ ν λ μ {\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }} được gọi là hệ số liên thông aphin hay ký hiệu Christoffel (mang tên của Elwin Bruno Christoffel), chúng không phải là tenxơ do chúng biến mất trong những hệ tọa độ cụ thể (ví dụ như hệ tọa độ Descartes trong không thời gian phẳng) trong khi chúng khác 0 trong hệ tọa độ khác. Thật vậy, có thể dễ dàng chứng minh được rằng dưới phép biến đổi tọa tổng quát ký hiệu Christoffel biến đổi theo

Γ β ′ γ ′ α ′ = Λ α ′ α Λ β β ′ Λ γ γ ′ Γ β γ α + Λ α ′ α ∂ β ′ ∂ γ ′ x α {\displaystyle \Gamma _{{\beta }'{\gamma }'}^{{\alpha }'}=\Lambda ^{{\alpha }'}{}_{\alpha }\Lambda ^{\beta }{}_{{\beta }'}\Lambda ^{\gamma }{}_{{\gamma }'}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+\Lambda ^{{\alpha }'}{}_{\alpha }\partial _{{\beta }'}\partial _{{\gamma }'}x^{\alpha }}

(155)

mà nó chỉ hoạt động như một tenxơ khi biến đổi là tuyến tính, như phép biến đổi Lorentz. Mặt khác, đạo hàm hiệp biến định nghĩa từ phương trình (154) cho phép xác định các thành phần của một tenxơ vì chúng đã được xây dựng để biểu diễn các thành phần của một trường vectơ trong (153). Cũng chú ý rằng vì hàm vô hướng không thể phân tích theo các thành phần của hệ vectơ cơ sở cho nên đạo hàm hiệp biến của hàm vô hướng ϕ {\displaystyle \phi } trùng với đạo hàm riêng

∇ μ ϕ = ∂ μ ϕ {\displaystyle \nabla _{\mu }\phi =\partial _{\mu }\phi }

(156)

Bây giờ có thể sử dụng tính chất (156) và định nghĩa (154) của đạo hàm hiệp biến của vectơ phản biến U μ {\displaystyle U^{\mu }} để thu được đạo hàm hiệp biến của vectơ hiệp biến U μ {\displaystyle U_{\mu }}

∇ ν U μ = ∂ ν U μ − Γ μ ν λ U λ {\displaystyle \nabla _{\nu }U_{\mu }=\partial _{\nu }U_{\mu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }U_{\lambda }}

(157)

Các thao tác tương tự cho phép tính được đạo hàm hiệp biến của một tenxơ hỗn hợp loại bất kỳ. Ví dụ, đối với ten xơ kiểu (1,1) và (0,2)

∇ μ T β α = ∂ μ T β α + Γ ν μ α T β ν − Γ β μ ν T ν α {\displaystyle \nabla _{\mu }T_{\beta }^{\alpha }=\partial _{\mu }T_{\beta }^{\alpha }+\Gamma _{\nu \mu }^{\alpha }T_{\beta }^{\nu }-\Gamma _{\beta \mu }^{\nu }T_{\nu }^{\alpha }}

(158)

∇ μ T α β = ∂ μ T α β − Γ α μ ν T ν β − Γ β μ ν T α ν {\displaystyle \nabla _{\mu }T_{\alpha \beta }=\partial _{\mu }T_{\alpha \beta }-\Gamma _{\alpha \mu }^{\nu }T_{\nu \beta }-\Gamma _{\beta \mu }^{\nu }T_{\alpha \nu }}

(159)

Có một điểm thú vị đó là nếu quay trở lại định luật biến đổi (155) sẽ thấy thành phần phản xứng của ký hiệu Christoffel Γ [ μ ν ] γ {\displaystyle \Gamma _{[\mu \nu ]}^{\gamma }} là một tenxơ. Hơn nữa, khi xét tới cơ sở tọa độ, thành phần phản xứng của ký hiệu Christoffel được sử dụng để định nghĩa một tenxơ gọi là tenxơ xoắn (torsion tensor):

T α μ ν := 2 Γ [ μ ν ] α {\displaystyle {\mathcal {T}}^{\alpha }{}_{\mu \nu }:=2\Gamma _{[\mu \nu ]}^{\alpha }}

(160)

Trong phát biểu ban đầu, Einstein đã giả sử không thời gian có các liên thông xoắn tự do (torsion-free) hay tenxơ xoắn bằng 0. Trong lý thuyết Einstein–Cartan, Cartan đã thử giới thiệu tenxơ xoắn thông qua spin mật độ của các hạt cơ bản. Tuy nhiên, trong những phần sau chỉ xét tới không thời gian có tenxơ xoắn bằng 0, hay ký hiệu Christoffel là đối xứng theo các chỉ số hiệp biến của nó. Điều này hàm ý, ví dụ, trong đạo hàm Lie (138) có thể thay thế đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến

( L V U ) μ = V ν ∇ ν U μ − U ν ∇ ν V μ {\displaystyle \left({\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {U}}\right)^{\mu }=V^{\nu }\nabla _{\nu }U^{\mu }-U^{\nu }\nabla _{\nu }V^{\mu }}

(161)

và thu được mối liên hệ quan trọng giữa đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến. Do có thể viết đạo hàm hiệp biến của một vectơ A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} tổng quát thành hai dạng tương đương

∇ λ A μ = ∇ λ ( g μ ν A ν ) = A ν ∇ λ g μ ν + g μ ν ∇ λ A ν {\displaystyle \nabla _{\lambda }A_{\mu }=\nabla _{\lambda }\left(g_{\mu \nu }A^{\nu }\right)=A^{\nu }\nabla _{\lambda }g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\nabla _{\lambda }A^{\nu }}

(162)

Cũng vì đạo hàm hiệp biến của một vectơ là một tenxơ, có thể thực hiện việc nâng và hạ chỉ số thông qua tenxơ mêtric và đạo hàm hiệp biến trong (162) viết thành

∇ λ A μ = g μ ν ∇ λ A ν {\displaystyle \nabla _{\lambda }A_{\mu }=g_{\mu \nu }\nabla _{\lambda }A^{\nu }}

(163)

Từ hai phương trình (162) và (163) dẫn tới một tính chất quan trọng của tenxơ mêtric

∇ λ g μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\lambda }g_{\mu \nu }=0}

(164)

Tính bất biến của mêtric với đạo hàm hiệp biến được ứng dụng để tính các ký hiệu Christoffel hoàn toàn theo các thành phần của tenxơ mêtric. Thật vậy, từ các bước tính toán trực tiếp từ (164) thông qua phương trình (159) chúng ta tìm được

Γ β γ α = 1 2 g α δ ( ∂ γ g δ β + ∂ β g δ γ − ∂ δ g β γ ) {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \delta }\left(\partial _{\gamma }g_{\delta \beta }+\partial _{\beta }g_{\delta \gamma }-\partial _{\delta }g_{\beta \gamma }\right)}

(165)

Dạng đạo hàm hiệp biến của 4-vectơ trong (157) và biểu thức hiển cho ký hiệu Christoffel trong (165) cho phép suy luận ra một đẳng thức quan trọng của bốn-phân kỳ của một vectơ

∇ μ U μ = ∂ μ ( − g U μ ) − g {\displaystyle \nabla _{\mu }U^{\mu }={\frac {\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}U^{\mu }\right)}{\sqrt {-g}}}}

(166)

mà ở đây g := d e t ( g μ ν {\displaystyle g:=det(g_{\mu \nu }} và chúng ta đã áp dụng tính chất của ký hiệu Christoffel với hai chỉ số được thu gọn

Γ μ ν ν = 1 2 g ν δ ∂ μ g ν δ = ∂ μ ( − g ) − g {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{2}}g^{\nu \delta }\partial _{\mu }g_{\nu \delta }={\frac {\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\right)}{\sqrt {-g}}}}

(167)

Biểu thức (166) còn được gọi là công thức phân kỳ và việc tính toán đơn giản đi đáng kể vì nó chỉ chứa đạo hàm riêng.

Trong trường hợp nói chung, bởi vì đối với mỗi giá trị của một chỉ số bên trên sẽ có 10 cặp giá trị khác nhau của hai chỉ số bên dưới do vậy sẽ có 40 giá trị khác nhau của Γ μ ν γ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\gamma }} , tuy thế không phải tất cả các giá trị này đều độc lập với nhau. Sự triệt tiêu của các ký hiệu Christoffel cũng là một tính chất quan trọng cần lưu ý. Giả sử rằng các ký hiệu Christoffel trong hệ tọa độ x μ {\displaystyle x^{\mu }} tại điểm x0 khác không, Γ λ κ μ ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle \Gamma _{\lambda \kappa }^{\mu }(x_{0})\neq 0} . Có thể chỉ ra rằng nếu thực hiện phép biến đổi như sau

x μ ′ = x μ − x 0 μ + 1 2 Γ α β μ ( x 0 ) ( x α − x 0 α ) ( x β − x 0 β ) {\displaystyle x^{{\mu }'}=x^{\mu }-x_{0}^{\mu }+{\frac {1}{2}}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }(x_{0})(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })(x^{\beta }-x_{0}^{\beta })}

(168)

thì các ký hiệu Christoffel trong hệ tọa độ mới triệt tiêu tại điểm x'0 hay Γ λ ′ κ ′ μ ′ ( x 0 ′ ) = 0 {\displaystyle \Gamma _{{\lambda }'{\kappa }'}^{{\mu }'}(x'_{0})=0} . Kết quả này không quá gây ngạc nhiên bởi vì như đã nêu ở phần trước không thời gian cong có thể coi là phẳng trên phạm vi cục bộ và các hệ số Christoffel có thể triệt tiêu tại bất kỳ các điểm lân cận nào. Sự triệt tiêu của các ký hiệu Christoffel hàm ý rằng dạng công thức của mêtric cho không thời gian phẳng cục bộ đã được tìm thấy tại điểm đó. Tuy nhiên, điều quan trọng là trong không thời gian cong tính chất này không thể mở rộng ra cho mọi điểm, do vậy một phép biến đổi tọa độ kiểu (168) sẽ cho các hệ số Christoffel khác 0 tại những điểm khác x'0. Một lần nữa, tính chất cơ bản này chính là sự thể hiện của nguyên lý tương đương và khả năng chọn được một hệ quy chiếu cục bộ mà nó trở thành hệ quy chiếu quán tính và hệ tương đương với hệ quy chiếu rơi tự do. Hệ quy chiếu cục bộ này không thể mở rộng ra toàn bộ đa tạp được.

Đối xứng và trường vectơ Killing

Đối xứng đóng vai trò quan trọng trong vật lý học và thuyết tương đối tổng quát không phải là một ngoại lệ. Để đánh giá sự quan trọng của các đối xứng, hãy xét một không thời gian có một số đối xứng chịu trách nhiệm cho tính bất biến của các phương trình dưới tác dụng của nhóm một tham số G {\displaystyle {\mathcal {G}}} . Trong trường hợp này, có thể gắn với G {\displaystyle {\mathcal {G}}} một trường vectơ ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} sao cho các đường trong trường vectơ ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} tương ứng với đường đi (hay quỹ đạo) của G {\displaystyle {\mathcal {G}}} . Ví dụ, nếu không thời gian là dừng, thì G = ( R , + ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=(\mathbb {R} ,+)} và các phương trình là bất biến dưới phép tịnh tiến dọc các đường kiểu thời gian, hay chúng độc lập với thời gian. Tương tự, nếu không thời gian là đối xứng trục, thì G = S O ( 2 ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=SO(2)} và các phương trình là bất biến dưới phép quay xung quanh một vài trục, hay chúng độc lập với góc miêu tả sự quay quanh những trục này. Các trường vectơ Killing nhấn mạnh vào các đối xứng của không thời gian và, như sẽ thảo luận sâu hơn ở những phần sau, chúng cung cấp một công cụ mạnh khi gặp những đại lượng bảo toàn đi kèm với các đối xứng này.

Về định nghĩa, một trường vectơ ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} là trường Killing (theo tên của Wilhelm Killing) nếu đạo hàm Lie của trường tenxơ mêtric g {\displaystyle {\boldsymbol {g}}} dọc theo họ ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} bằng 0, hay L ξ g = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {\xi }}{\boldsymbol {g}}=0} . Nghĩa là trường vectơ Killing bảo tồn mêtric trên đa tạp Riemann. Trong dạng thành phần, điều kiện này tương đương với

L ξ g μ ν = ξ α ∂ α g μ ν + g μ α ∂ ν ξ α + g α ν ∂ μ ξ α = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {\xi }}g_{\mu \nu }=\xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+g_{\mu \alpha }\partial _{\nu }\xi ^{\alpha }+g_{\alpha \nu }\partial _{\mu }\xi ^{\alpha }=0}

(169)

Trường vectơ ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} cũng được coi là toán tử sinh (generator) của nhóm đối xứng G {\displaystyle {\mathcal {G}}} . Phương trình (169) cung cấp đặc trưng hiệp biến cho những đối xứng tồn tại. Quả vậy, nếu chúng ta thay đạo hàm riêng ∂ ν ξ α {\displaystyle \partial _{\nu }\xi ^{\alpha }} theo (154) và sử dụng tính chất (164) ∇ μ g α β = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }g_{\alpha \beta }=0} sẽ thu được phương trình Killing

∇ ( μ ξ ν ) = 0 {\displaystyle \nabla _{(\mu }\xi _{\nu )}=0}

(170)

với dấu ngoặc ám chỉ thành phần đối xứng của tenxơ này. Phương trình (170) là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất cho các vectơ Killing và chúng xác định các phép đẳng cự (isometry) của không thời gian. Ví dụ, giả sử chọn hệ tọa độ sao cho ξ μ = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)} là một vectơ Killing. Thì từ (169) rút ra được mêtric độc lập với thời gian

∂ t g μ ν = 0 {\displaystyle \partial _{t}g_{\mu \nu }=0}

(171)

Nói chung, khi vectơ Killing là vectơ cơ sở tọa độ, thì mêtric không phụ thuộc vào trục tọa độ tương ứng, hay còn gọi là tọa độ xilic (cyclic coordinate). Ví dụ, một số mêtric của không thời gian vật lý mà nêu ra ở phần Không thời gian trong vật lý thiên văn, các tọa độ t , ϕ {\displaystyle t,\phi } là xiclic. Từ đây chúng thừa nhận ít nhất hai vectơ Killing η {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} và ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} sao cho η μ = δ m u t {\displaystyle \eta ^{\mu }=\delta ^{m}u_{t}} và ξ μ = δ m u ϕ {\displaystyle \xi ^{\mu }=\delta ^{m}u_{\phi }} và các tích vô hướng cho kết quả trực tiếp các thành phần của tenxơ mêtric

η μ η μ = g t t , ξ μ ξ μ = g ϕ ϕ , η μ ξ μ = g t ϕ {\displaystyle \eta ^{\mu }\eta _{\mu }=g_{tt},\qquad \xi ^{\mu }\xi _{\mu }=g_{\phi \phi },\qquad \eta ^{\mu }\xi _{\mu }=g_{t\phi }}

(172)

Rõ ràng sự có mặt của một vectơ Killing thể hiện tính chất độc lập với một tọa độ của không thời gian, trong khi thực tế rằng một tọa độ là xilic là do cách lựa chọn đặc biệt đối với các tọa độ. Tuy nhiên, khi cho trước một vectơ Killing, luôn có thể tìm được một hệ tọa độ phù hợp sao cho vectơ Killing trùng với một trong các vectơ cơ sở tọa độ. Có thể chứng minh được là một không thời gian N chiều thừa nhận nhiều nhất N(N+1)/2 vectơ Killing độc lập. Trường hợp tất cả chúng có mặt khi chỉ khi độ cong của không thời gian là không đổi.[37]. Ví dụ cho không thời gian có độ cong không đổi đó là không thời gian phẳng và không thời gian Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) miêu tả trong phần liên quan ở dưới.

Hai mối liên hệ cơ sở thỏa mãn trong không thời gian có hai vectơ Killing η {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} và ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} đó là

η μ ∇ μ η ν = − 1 2 ∇ ν ( η μ η μ ) , ξ μ ∇ μ ξ ν = − 1 2 ∇ ν ( ξ μ ξ μ ) {\displaystyle \eta ^{\mu }\nabla _{\mu }\eta _{\nu }=-{\frac {1}{2}}\nabla _{\nu }\left(\eta ^{\mu }\eta _{\mu }\right),\qquad \xi ^{\mu }\nabla _{\mu }\xi _{\nu }=-{\frac {1}{2}}\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }\xi _{\mu }\right)}

(173)

Ngoài ra, nếu hai vectơ Killing η {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} và ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} giao hoán, nghĩa là (xem (145))

L η ξ = − L ξ η = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {\eta }}{\boldsymbol {\xi }}=-{\mathcal {L}}_{\boldsymbol {\xi }}{\boldsymbol {\eta }}=0}

(174)

thì liên hệ sau cũng thỏa mãn

η μ ∇ μ ξ ν = ξ μ ∇ μ η ν = − 1 2 ∇ ν ( ξ μ η μ ) {\displaystyle \eta ^{\mu }\nabla _{\mu }\xi _{\nu }=\xi ^{\mu }\nabla _{\mu }\eta _{\nu }=-{\frac {1}{2}}\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }\eta _{\mu }\right)}

(175)

Phương trình đường trắc địa

Xét một trường vectơ U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} trên đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} và một đường cong C {\displaystyle {\mathcal {C}}} với vec tơ tiếp tuyến V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} . Đạo hàm đối lưu (convective derivative hoặc Lagrangian derivative) của U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} dọc theo V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} là

( D U D λ ) μ := ( ∇ V U ) μ = V μ ∇ ν U μ = V ν ∂ ν U μ + Γ α ν μ U α V ν {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {D{\boldsymbol {U}}}{D\lambda }}\right)^{\mu }&:=\left({\boldsymbol {\nabla _{V}U}}\right)^{\mu }\\&=V^{\mu }\nabla _{\nu }U^{\mu }=V^{\nu }\partial _{\nu }U^{\mu }+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }U^{\alpha }V^{\nu }\\\end{aligned}}}

(176)

với λ {\displaystyle \lambda } là tham số dọc cung C {\displaystyle {\mathcal {C}}} và chúng ta sử dụng ký hiệu D / D λ {\displaystyle D/D\lambda } để nhấn mạnh nó nên được coi là sự mở rộng của đạo hàm hiệp biến dọc theo hướng được chọn của trường vectơ V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} . Chú ý rằng nếu U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} là một hàm vô hướng ϕ {\displaystyle \phi } , thì đạo hàm đối lưu (176) trùng với đạo hàm Lie của ϕ {\displaystyle \phi } dọc theo V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}}

D ϕ D λ = V ν ∂ ν ϕ = d ϕ d λ = L V ϕ {\displaystyle {\frac {D\phi }{D\lambda }}=V^{\nu }\partial _{\nu }\phi ={\frac {d\phi }{d\lambda }}={\mathcal {L}}_{\boldsymbol {V}}\phi }

(177)

Đạo hàm đối lưu cho phép định nghĩa một khái niệm rất quan trọng đó là dịch chuyển song song (parallel transport) và ta nói rằng U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} được dịch chuyển song song dọc đường cong C {\displaystyle {\mathcal {C}}} với vectơ tiếp tuyến V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} nếu

∇ V U = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla _{V}U}}=0}

(178)

Dịch chuyển song song một vectơ trên cung kín thuộc mặt cầu từ A → N → B → A và vectơ cuối cùng có hướng khác so với vec tơ ban đầu, góc lệch α {\displaystyle \alpha } tỉ lệ với diện tích tam giác cầu (cung kín).

Phát biểu theo cách khác, một trường vec tơ được dịch chuyển song song nếu nó di chuyển từ điểm P1 đến P2 dọc theo C {\displaystyle {\mathcal {C}}} và tại đó nó trùng với trường vectơ nằm tại điểm P1. Khái niệm dịch chuyển song song dẫn tới một cách tự nhiên định nghĩa một loại đường cong đặc biệt, với vectơ tiếp tuyến của đường cong này được dịch chuyển song song trên nó

∇ V V = 0 ⟺ V ν ∇ ν V μ = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla _{V}V}}=0\iff V^{\nu }\nabla _{\nu }V^{\mu }=0}

(179)

Để thấy được ý nghĩa của phương trình (179), hãy xét không thời gian phẳng nơi các đường mà dịch chuyển song song các vectơ tiếp tuyến của chúng chỉ đơn giản là một đường thẳng. Trong trường hợp này, thực tế vectơ tiếp tuyến vẫn còn song song với nhau khi nó trượt trên đường thằng. Do vậy, phương trình (179) biểu diễn sự mở rộng sang không thời gian cong tổng quát hơn của khái niệm đường thẳng mà gọi là các đường cong trắc địa hay đường trắc địa.

Vì V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} là vectơ tiếp tuyến nên có thể viết nó dưới dạng V μ = d x μ / d λ {\displaystyle V^{\mu }=dx^{\mu }/d\lambda } (xem phương trình (16)) và từ phương trình (179) thu được

V α ∇ α V μ = V α ( ∂ α V μ + Γ α β μ V β ) = d V μ d λ + Γ α β μ V α V β = 0 {\displaystyle V^{\alpha }\nabla _{\alpha }V^{\mu }=V^{\alpha }\left(\partial _{\alpha }V^{\mu }+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }V^{\beta }\right)={\frac {dV^{\mu }}{d\lambda }}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }V^{\alpha }V^{\beta }=0}

(180)

hay chính là phương trình trắc địa hoặc phương trình đường cong trắc địa như sau

d 2 x μ d λ 2 + Γ α β μ d x α d λ d x β d λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d{\lambda }^{2}}}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\beta }}{d\lambda }}=0}

(181)

Tham số λ {\displaystyle \lambda } , mà dùng để biểu thị thời gian riêng trên một đường cong kiểu thời gian (timelike curve), được gọi là tham số aphin của đường trắc địa với tên gọi đến từ lý do rằng phương trình (181) bất biến dưới phép biến đổi aphin trong đó λ → λ ′ = a λ + b {\displaystyle \lambda \rightarrow {\lambda }'=a\lambda +b} với a, b là hai hằng số.

Cũng có thể rút ra phương trình trắc địa (181) theo cách tiếp cận khác. Giống như đường thẳng trong không thời gian phẳng biểu thị cho đường cong có độ dài cực trị (extremal length), ta có thể đòi hỏi rằng đường cong trắc địa biểu thị cho đường cong có độ dài cực trị giữa hai điểm P1 và P2 trong không thời gian tổng quát, tức là[38] δ S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0} với

S := ∫ P 1 P 2 2 L d λ = ∫ P 1 P 2 d s = ∫ P 1 P 2 | g μ ν d x μ d x ν | = ∫ P 1 P 2 | g μ ν x ˙ μ x ˙ ν | d λ {\displaystyle {\mathcal {S}}:=\int _{P_{1}}^{P_{2}}2Ld\lambda =\int _{P_{1}}^{P_{2}}ds=\int _{P_{1}}^{P_{2}}{\sqrt {|g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }|}}=\int _{P_{1}}^{P_{2}}{\sqrt {|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }|}}d\lambda }

(182)

với x ˙ μ := d x μ / d λ {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }:=dx^{\mu }/d\lambda } và với L = L ( x μ , x ˙ μ , λ ) {\displaystyle L=L(x^{\mu },{\dot {x}}^{\mu },\lambda )} là hàm Lagrangian. Một hệ quả quan trọng của cách tiếp cận bằng phép tính biến phân đó là nó chứng tỏ chỉ có duy nhất một đường trắc địa nối giữa hai điểm khác nhau.

Bây giờ giả sử đường cong C {\displaystyle {\mathcal {C}}} là tuyến thế giới của một hạt khối lượng m, và được tham số hóa bằng thời gian riêng, do đó vectơ tiếp tuyến chính là 4-vận tốc của hạt. Trong trường hợp này, đường trắc địa là đường cong mà trên nó 4-gia tốc của hạt bị triệt tiêu, hay có nghĩa là đường mà hạt rơi tự do. Suy luận ra điều này là khá đơn giản nếu xét không thời gian phẳng với hệ tọa độ Descartes nơi phương trình đường trắc địa suy biến thành

d 2 x μ d λ 2 = F μ m = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d{\lambda }^{2}}}={\frac {F^{\mu }}{m}}=0}

(183)

trong đó F μ {\displaystyle F^{\mu }} là các thành phần của 4-lực. Từ đây chúng ta thu được hai kết luận quan trọng. Thứ nhất, đường trắc địa quả thực là quỹ đạo của hạt rơi tự do, tức là hạt không chịu tác động của một hợp lực ngoài. Thứ hai, đó là gia tốc-4 của hạt, mà định nghĩa bằng đạo hàm đối lưu của vận tốc-4, bằng không dọc theo đường trắc địa của hạt

a μ = u ν ∇ ν u μ = 0 {\displaystyle a^{\mu }=u^{\nu }\nabla _{\nu }u^{\mu }=0}

(184)

Có thể thiết lập mối liên hệ giữa đường cong trắc địa với các đối xứng Killing nêu ra ở phần trước. Trước hết chú ý nếu ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} là vectơ Killing và u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} là vectơ tiếp tuyến với đường trắc địa, thì dựa theo phương trình (184) ta có

L u ( u μ ξ μ ) = ∇ u ( u μ ξ μ ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {u}}\left(u^{\mu }\xi ^{\mu }\right)=\nabla _{\boldsymbol {u}}\left(u^{\mu }\xi ^{\mu }\right)=0}

(185)

tức là tích vô hướng u . ξ {\displaystyle {\boldsymbol {u.\xi }}} được bảo toàn dọc theo đường trắc địa. Như vậy là phương trình đường trắc địa được sử dụng để tìm các vectơ Killing có liên hệ với các định luật bảo toàn vật lý. Tính chất này đã biểu diễn ở phương trình (185) nhưng nó sẽ rõ ràng hơn nếu chúng ta xét phương trình đường trắc địa (179) và thực hiện thu gọn chỉ số với một trường vectơ Killing ξ ν {\displaystyle \xi _{\nu }} để tìm

ξ ν V μ ∇ μ V ν = V μ ∇ μ ( ξ ν V ν ) − V μ V ν ∇ μ ξ ν = 0 {\displaystyle \xi _{\nu }V^{\mu }\nabla _{\mu }V^{\nu }=V^{\mu }\nabla _{\mu }(\xi _{\nu }V^{\nu })-V^{\mu }V^{\nu }\nabla _{\mu }\xi _{\nu }=0}

(186)

Từ phương trình (170) ta có V μ V ν ∇ μ ξ ν = V μ V ν ∇ ( μ ξ ν ) {\displaystyle V^{\mu }V^{\nu }\nabla _{\mu }\xi _{\nu }=V^{\mu }V^{\nu }\nabla _{(\mu }\xi _{\nu )}} triệt tiêu, và ngay lập tức suy ra được đại lượng ξ μ V μ {\displaystyle \xi _{\mu }V^{\mu }} được bảo toàn dọc theo đường trắc địa. Kết quả này có một ý nghĩa đẹp được giải thích theo kết quả vật lý. Khi mêtric không phụ thuộc vào một tọa độ, như đối với tọa độ thời gian và/hoặc tọa độ góc phương vị như tương ứng trong không thời gian dừng và/hoặc không thời gian đối xứng trục, thì một hạt thử chuyển động với vận tốc V μ {\displaystyle V^{\mu }} dọc theo đường trắc địa sẽ có hai thành phần V t {\displaystyle V_{t}} và/hoặc V ϕ {\displaystyle V_{\phi }} được bảo toàn. Do hạt trên một đường trắc địa khi và chỉ khi nó không chịu một lực bất kỳ nào khác ngoài lực hấp dẫn, một cách tự nhiên ta có thể gán hai đại lượng V t {\displaystyle V_{t}} và V ϕ {\displaystyle V_{\phi }} là hằng số của chuyển động, tương ứng cho năng lượng và động lượng của hạt.

Tenxơ Riemann

Mặc dù tenxơ mêtric chắc chắn là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối rộng, nhưng nếu chỉ sử dụng một mình nó thì không thể suy luận ra không thời gian là phẳng hay cong. Chúng ta đã đề cập đến thực tế rằng một không thời gian phẳng được miêu tả bằng hệ tọa độ Descartes sẽ có tenxơ mêtric rất đơn giản với các thành phần là hằng số (xem (103)), cùng một không thời gian này sẽ có tenxơ mêtric phức tạp hơn khi đa tạp được phủ bằng những hệ tọa độ khác, chẳng hạn như hệ tọa độ cầu. Về mặt trực giác, khi thực hiện đo độ cong thì kết quả sẽ phụ thuộc vào tenxơ mêtric thay đổi như thế nào trên toàn bộ không thời gian (hay nó sẽ phải tỷ lệ với đạo hàm của ten xơ mêtric) và những sự thay đổi này sẽ có dạng toàn phương, với sự tương tự như ở độ cong nội tại Gauss đối với mặt. Từ đó, với cách lập luận đơn giản như thế đưa chúng ta nhận ra rằng tenxơ độ cong sẽ phải có thứ nguyên của nghịch đảo bình phương độ dài và là một đối tượng có kiểu

(tenxơ độ cong) ∝ f [ ( ∂ g ) 2 , ∂ 2 g ] {\displaystyle \propto f[(\partial {\boldsymbol {g}})^{2},\partial ^{2}{\boldsymbol {g}}]}

(187)

Có thể thực hiện định nghĩa chính xác hơn khi áp dụng các công cụ toán học đã được nêu ở các phần trước, đặc biệt là khái niệm đạo hàm hiệp biến dọc theo một đường cong. Xét một trường vectơ bất kỳ A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} và hai đoàn đường cong C U {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {U}}} và C V {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {V}}} , với U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} và V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} tương ứng là các vectơ tiếp tuyến. Cho giá trị của trường vectơ tại một điểm P hay A ( P ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(P)} , chúng ta có thể tính giá trị tại một điểm Q sau khi đã kéo dọc giá trị từ P theo đoàn C U {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {U}}} rồi sau đó kéo theo đoàn C V {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {V}}} . Kết quả của hai sự dịch chuyển này là hai vectơ được so sánh tại điểm Q. Trong không gian thời gian phẳng, hai vectơ này sẽ đồng nhất giống nhau. Nhưng chúng sẽ khác nhau nếu không thời gian là cong và sự sai khác này có thể được sử dụng để đo độ cong của không thời gian. Việc so sánh này được nêu ra trong hình 1.3 với hai đoàn đường cong được vẽ ra và với các vec tơ tiếp tuyến. Chú ý rằng vec tơ A ( P ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(P)} sẽ có hai ảnh khác nhau tại điểm Q mới và hiệu giữa chúng sẽ đo độ cong của đa tạp.

Bằng cách tính toán trực tiếp nhưng khá dài bao gồm các định nghĩa của đạo hàm hiệp biến (154) và đạo hàm đối lưu (176) chúng ta thu được hai biểu thức sau cho các đạo hàm hiệp biến lần 2 cho tính giao hoán của bốn vec-tơ A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} như sau (hay còn gọi là đồng nhất thức Ricci)

∇ [ μ ∇ ν ] A α = 1 2 R α ν μ β A β , {\displaystyle \nabla _{[\mu }\nabla _{\nu ]}A_{\alpha }={\frac {1}{2}}R_{\alpha \nu \mu }^{\beta }A_{\beta },}

(188)

∇ [ μ ∇ ν ] A α = 1 2 R β ν μ α A β , {\displaystyle \nabla _{[\mu }\nabla _{\nu ]}A^{\alpha }={\frac {1}{2}}R_{\beta \nu \mu }^{\alpha }A^{\beta },}

(189)

với[39]

R μ ν α β := ∂ α Γ ν β μ − ∂ β Γ ν α μ + Γ λ α μ Γ ν β λ − Γ λ β μ Γ ν α λ {\displaystyle R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }:=\partial _{\alpha }\Gamma _{\nu \beta }^{\mu }-\partial _{\beta }\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }+\Gamma _{\lambda \alpha }^{\mu }\Gamma _{\nu \beta }^{\lambda }-\Gamma _{\lambda \beta }^{\mu }\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }}

(191)

là tenxơ độ cong Riemann mà O ( ( ∂ g ) 2 , ∂ 2 g ) {\displaystyle {\mathcal {O}}((\partial {\boldsymbol {g}})^{2},\partial ^{2}{\boldsymbol {g}})} như được mong đợi theo (187).

Tập tin:Riemann curvature tensor.svgMinh họa sự thay đổi của vectơ A khi nó được dịch chuyển song song từ điểm P đến điểm Q theo hai cách: thứ nhất là dọc theo đoàn đường cong C U {\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}} rồi sau đó theo C V {\displaystyle {\mathcal {C}}_{V}} , thứ hai là theo cách ngược lại. Do đa tạp là cong nên hai kết quả sẽ cho hai vectơ khác nhau tại điểm Q, và hiệu của haivec tơ này đo độ cong của đa tạp, như được biểu diễn qua tenxơ Riemann.

Cách lập luận ở trên không phải là cách duy nhất để tìm ra tenxơ độ cong Riemann. Có một cách suy luận gần gũi với trực giác vật lý hơn đó là chứng tỏ mối liên hệ giữa độ cong và sự có mặt của lực thủy triều do trường hấp dẫn. Để thấy điều này, trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm đối lưu bậc hai của một trường vectơ tổng quát A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} dọc theo một đường trắc địa có vectơ tiếp tuyến u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} . Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách tính hai lần đạo hàm đối lưu bậc nhất (176) ta có

D 2 A μ D λ 2 = D D λ ( D A μ D λ ) = u ν ∇ ν ( D A μ D λ ) = u ν ∇ ν ( u κ ∇ κ A μ ) {\displaystyle {\frac {D^{2}A^{\mu }}{D\lambda ^{2}}}={\frac {D}{D\lambda }}\left({\frac {DA^{\mu }}{D\lambda }}\right)=u^{\nu }\nabla _{\nu }\left({\frac {DA^{\mu }}{D\lambda }}\right)=u^{\nu }\nabla _{\nu }(u^{\kappa }\nabla _{\kappa }A^{\mu })}

(192)

Bây giờ sử dụng định nghĩa của phương trình trắc địa (179), có thể mở rộng phương trình (192) thông qua quy tắc tính đạo hàm tiêu chuẩn và có

D 2 A μ D λ 2 = d 2 A μ d λ 2 + A ν u α u β ∂ β Γ ν α μ + 2 Γ ν α μ u ν d A α d λ + Γ ν β μ Γ α ρ β A α u ρ u ν − Γ ν α μ Γ γ ρ ν A α u γ u ρ {\displaystyle {\frac {D^{2}A^{\mu }}{D\lambda ^{2}}}={\frac {d^{2}A^{\mu }}{d\lambda ^{2}}}+A^{\nu }u^{\alpha }u^{\beta }\partial _{\beta }\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }+2\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }u^{\nu }{\frac {dA^{\alpha }}{d\lambda }}+\Gamma _{\nu \beta }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\beta }A^{\alpha }u^{\rho }u^{\nu }-\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }\Gamma _{\gamma \rho }^{\nu }A^{\alpha }u^{\gamma }u^{\rho }}

(193)

mà ở đây ký hiệu:

d A μ d λ := u ν ∂ ν A μ {\displaystyle {\frac {dA^{\mu }}{d\lambda }}:=u^{\nu }\partial _{\nu }A^{\mu }}

(194)

Tiếp theo, xét hai hạt điểm nằm gần nhau trong trạng thái rơi tự do và có nghĩa là hai hạt nằm trên hai đường trắc địa được tham số hóa bằng cùng một tham số λ {\displaystyle \lambda } (hay có cùng thời gian riêng). Trong không thời gian phẳng, chúng sẽ chuyển động theo đường thẳng và do đó khoảng cách giữa chúng, mà được đo thông qua vectơ chuyển dịch vị trí ξ μ {\displaystyle \xi ^{\mu }} giữa hai đường trắc địa, là không đổi (các đường thẳng song song không cắt nhau trong không gian phẳng). Tuy nhiên, điều này sẽ không còn đúng nếu không thời gian là cong, và chúng ta có thể đo sự biến đổi trong vectơ chuyển dịch vị trí bằng cách theo dõi hai đường trắc địa mà sẽ có phương trình

d 2 x μ d λ 2 + Γ α β μ d x α d λ d x β d λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\beta }}{d\lambda }}=0}

(195)

d 2 ( x μ + ξ μ ) d λ 2 + Γ α β μ ( x + ξ ) d ( x α + ξ α ) d λ d ( x β + ξ β ) d λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}(x^{\mu }+\xi ^{\mu })}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }(x+\xi ){\frac {d(x^{\alpha }+\xi ^{\alpha })}{d\lambda }}{\frac {d(x^{\beta }+\xi ^{\beta })}{d\lambda }}=0}

(196)

Trừ hai vế của hai phương trình (195) và (196), rồi khai triển nó tới bậc nhất của độ dịch chuyển tức là Γ α β μ ( x + ξ ) = Γ α β μ ( x ) + ξ ν ∂ ν Γ α β μ + O ( ξ 2 ) {\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }(x+\xi )=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }(x)+\xi ^{\nu }\partial _{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\mathcal {O}}({\boldsymbol {\xi }}^{2})} thu được

d 2 ξ μ d λ 2 = − 2 Γ ν β μ u ν d ξ β d λ − u ν u α ξ β ∂ β Γ ν α μ + O ( ξ 2 ) {\displaystyle {\frac {d^{2}\xi ^{\mu }}{d\lambda ^{2}}}=-2\Gamma _{\nu \beta }^{\mu }u^{\nu }{\frac {d\xi ^{\beta }}{d\lambda }}-u^{\nu }u^{\alpha }\xi ^{\beta }\partial _{\beta }\Gamma _{\nu \alpha }^{\mu }+{\mathcal {O}}({\boldsymbol {\xi }}^{2})}

(197)

Sử dụng biểu thức (197) có thể tính tiếp đạo hàm đối lưu bậc hai của vectơ chuyển dịch vị trí ξ μ {\displaystyle \xi ^{\mu }} dựa theo công thức (193) cho vectơ tổng quát A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} cuối cùng nhận được

D 2 ξ μ D λ 2 = R ν α β μ u ν u α ξ β {\displaystyle {\frac {D^{2}\xi ^{\mu }}{D\lambda ^{2}}}=R_{\nu \alpha \beta }^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }\xi ^{\beta }}

(198)

với tenxơ kiểu (1, 3) R ν α β μ {\displaystyle R_{\nu \alpha \beta }^{\mu }} trong (198) có cùng dạng với tenxơ Riemann được định nghĩa trong (191).

Phương trình (198) được gọi là phương trình độ lệch trắc địa cung cấp một kết quả rất quan trọng khi nó phát biểu các đường trắc địa lân cận nhau thay đổi khoảng cách giữa chúng theo cách gia tốc nếu tenxơ Riemann khác 0.[40] Kết quả là, một sự biểu thị điển hình của trường hấp dẫn, sự xuất hiện của lực thủy triều, bây giờ được coi đơn giản như là một hiệu ứng hình học do độ cong khác không của không thời gian. Do vậy, tenxơ Riemann không những dùng để thăm dò độ cong của không thời gian, mà còn được coi là sự có mặt của trường hấp dẫn và hai thứ này không thể phân biệt được với nhau. Điều này được minh họa trên hình 1.4 thể hiện vectơ ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} tách biệt giữa hai đường trắc địa của hai hạt rơi tự do với vectơ tiếp tuyến u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} . Bên trái là không thời gian phẳng, với R ν α β μ = 0 {\displaystyle R_{\nu \alpha \beta }^{\mu }=0} trong trường hợp này khoảng cách giữa hai đường là không đổi và hai đường trắc địa là những đường thẳng song song với nhau. Bên phải là trường hợp không thời gian cong, R ν α β μ ≠ 0 {\displaystyle R_{\nu \alpha \beta }^{\mu }\neq 0} như được tạo ra bởi vật thể khối lượng lớn chẳng hạn, trong trường hợp này vec tơ khoảng cách có độ lớn biến thiên gia tốc thu nhỏ dần khi hai hạt thử di chuyển trong trường hấp dẫn. (198)

Chúng ta đã biết rằng nếu không thời gian là phẳng thì có một hệ tọa độ mà trong đó các hệ số Christoffel bị triệt tiêu trên toàn bộ không thời gian. Do đó từ phương trình (191) tenxơ Riemann cũng triệt tiêu, và do là tenxơ nó cũng triệt tiêu trong mọi hệ tọa độ khác. Điều ngược lại cũng đúng, nghĩa là nếu tenxơ Riemann bằng 0 trên toàn bộ không thời gian, thì từ phương trình (198) sẽ có khoảng cách giữa hai đường trắc địa bất kỳ sẽ không đổi và do vậy không thời gian là phẳng. Tuy nhiên chú ý rằng, nếu các hệ số Christoffel chỉ bằng 0 trong phạm vi cục bộ điều này không thể suy ra được tenxơ Riemann sẽ bằng 0 tại điểm đó bởi vì ten xơ này còn phụ thuộc vào đạo hàm của hệ số Christoffel. Do vậy bằng cách lập luận này, luôn có thể phân biệt được hiệu ứng gây ra bởi một trường hấp dẫn thực sự hay do một hệ quy chiếu phi quán tính (các dẫn đến không thời gian phẳng trên cục bộ) với một cách đơn giản đó là kiểm tra xem tenxơ Riemann có bằng 0 hay không.

Khi viết một tenxơ có kiểu (0, 4), tenxơ Riemann thể hiện một số tính chất đối xứng đại số quan trọng như sau:

Tập tin:Geodesicdeviation.svgMinh họa khoảng cách giữa hai đường trắc địa khi được đo bằng vectơ khoảng cách ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} giữa hai đường trắc địa của hai hạt rơi tự do với vectơ tiếp tuyến u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} . Bên trái là không thời gian phẳng, R ν α β μ = 0 {\displaystyle R_{\nu \alpha \beta }^{\mu }=0} , khoảng cách giữa hai đường trắc địa không thay đổi và chúng là hai đường thẳng song song. Bên phải là không thời gian cong bao quanh một vật thể khối lượng lớn, và trong trường hợp này khoảng cách giữa hai đường thay đổi và không còn song song với nhau nữa.

• Nó đối xứng khi hoán vị giữa hai cặp chỉ số thứ nhất và thứ hai

R α β γ δ = R γ δ α β {\displaystyle R_{\alpha \beta \gamma \delta }=R_{\gamma \delta \alpha \beta }}

(199)

• Nó phản xứng khi đổi vị trí hai cặp chỉ số đầu tiên

R α β γ δ = − R β α γ δ {\displaystyle R_{\alpha \beta \gamma \delta }=-R_{\beta \alpha \gamma \delta }}

(200)

• Tương tự, nó phản xứng khi đổi vị trí hai cặp chỉ số thứ ba và thứ tư

R α β γ δ = − R α β δ γ {\displaystyle R_{\alpha \beta \gamma \delta }=-R_{\alpha \beta \delta \gamma }}

(201)

• Nó phản xứng ở ba chỉ số cuối (đồng nhất thức Bianchi)

3 ! R α [ β γ δ ] = 2 ( R α β γ δ + R α δ β γ + R α γ δ β ) {\displaystyle 3!R_{\alpha [\beta \gamma \delta ]}=2(R_{\alpha \beta \gamma \delta }+R_{\alpha \delta \beta \gamma }+R_{\alpha \gamma \delta \beta })}

(202)

Do tất cả những tính chất đối xứng và phản xứng này, số các thành phần độc lập của tenxơ Riemann trong đa tạp N chiều không phải là N4 mà là N2(N2-1)/12, vì thế trong không thời gian bốn chiều, có 20 thành phần độc lập trong số 256 thành phần của tenxơ Riemann. Ta có thể thực hiện thao tác thu gọn chỉ số của tenxơ Riemann nhưng chỉ có một trường hợp là không tầm thường, và thu được một tenxơ đối xứng hạng hai gọi là tenxơ Ricci

R μ ν := g α β R α μ β ν = R μ β ν β = ∂ λ Γ μ ν λ − ∂ ν Γ μ λ λ + Γ μ ν λ Γ λ β β − Γ μ β λ Γ ν λ β {\displaystyle R_{\mu \nu }:=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \mu \beta \nu }=R_{\mu \beta \nu }^{\beta }=\partial _{\lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \lambda }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\Gamma _{\lambda \beta }^{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\lambda }\Gamma _{\nu \lambda }^{\beta }}

(203)

với phương trình cuối áp dụng theo phương trình (191) biểu diễn tenxơ Ricci theo hệ số Christoffel. Ta có thể thực hiện tiếp việc thu gọn chỉ số của tenxơ Ricci để thu được vết của nó hay gọi là độ cong vô hướng hoặc độ cong vô hướng Ricci cho bởi

R := g μ ν R μ ν = R μ ν {\displaystyle R:=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R^{\mu }{}_{\nu }}

(204)

Ý nghĩa hình học của độ cong vô hướng đó là nó thể hiện lượng thay đổi của thể tích một hình cầu trong đa tạp cong Riemann so với hình cầu cùng bán kính trong không gian Euclid.

Vì được xây dựng trực tiếp từ tenxơ Riemann nên cả tenxơ Ricci và vô hướng Ricci có thứ nguyên của nghịch đảo bình phương độ dài. Vô hướng Ricci cũng phân biệt với một loại vô hướng khác nhận được bằng cách thu gọn các chỉ số của hai tenxơ Riemann:

K := R α β μ ν R α β μ ν {\displaystyle K:=R^{\alpha \beta \mu \nu }R_{\alpha \beta \mu \nu }}

(205)

Độ cong vô hướng này còn được gọi là độ cong vô hướng Kretschmann, có thứ nguyên bằng nghịch đảo lũy thừa bậc bốn của độ dài. Các độ cong vô hướng này là những độ cong bất biến tại mỗi điểm và xác định lên hình học nội tại ở lân cận điểm đó. Độ cong bất biến rất có ích khi thực hiện đo độ cong của không thời gian cũng như nghiên cứu các kỳ dị vật lý. Để nhìn nhận một cách trực giác hơn về tính chất của tenxơ Riemann, hãy xét các thành phần của nó trong một không gian cong hai chiều đơn giản nhất, hay mặt cầu hai chiều trong không gian Euclid ba chiều S {\displaystyle {\mathcal {S}}} . Nếu R S {\displaystyle R_{S}} là bán kính của mặt cầu hai chiều được phủ bằng hệ tọa độ { θ , ϕ } {\displaystyle \{\theta ,\phi \}} thì nguyên tố đoạn sẽ bằng

d s 2 = R S 2 ( d θ 2 + s i n 2 θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=R_{S}^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\phi ^{2})}

(206)

và do đó tenxơ mêtric sẽ có các thành phần

g i j = ( R S 2 0 0 R S 2 s i n 2 θ ) , g i j = ( R S − 2 0 0 ( R S 2 s i n 2 θ ) − 1 ) {\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}R_{S}^{2}&0\\0&R_{S}^{2}sin^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}R_{S}^{-2}&0\\0&(R_{S}^{2}sin^{2}\theta )^{-1}\end{pmatrix}}}

Các ký hiệu Christoffel khác 0 là

Γ ϕ ϕ θ = − s i n θ c o s θ , Γ θ ϕ ϕ = c o t θ {\displaystyle \Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta ,\quad \Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=cot\theta }

(207)

Từ đây có thể tính trực tiếp các thành phần khác 0 của tenxơ Riemann

R ϕ ϕ θ θ = − 1 R S 2 g θ θ = − s i n 2 θ , R θ ϕ θ ϕ = 1 R S 2 g θ θ = 1 {\displaystyle R_{\phi \phi \theta }^{\theta }=-{\frac {1}{R_{S}^{2}}}g_{\theta \theta }=-sin^{2}\theta ,\quad R_{\theta \phi \theta }^{\phi }={\frac {1}{R_{S}^{2}}}g_{\theta \theta }=1}

(208)

và tenxơ Ricci bằng R i j = g i j / R S 2 {\displaystyle R_{ij}=g_{ij}/R_{S}^{2}} trong khi độ cong vô hướng Ricci bằng R = 2 / R S 2 {\displaystyle R=2/R_{S}^{2}} . Sự quan trọng của biểu thức (208) là nó cho thấy tenxơ độ cong tỷ lệ nghịch với bình phương bán kính cong cục bộ tại điểm đó, do vậy nó độc lập với không gian Euclid ba chiều, và có thể gắn cho tenxơ độ cong tại mỗi điểm bằng nghịch đảo bình phương của bán kính mặt cầu mật tiếp tại điểm đó. Với mặt cầu hai chiều bất kỳ có bán kính RS không đổi biểu thức (208) có thể mở rộng thành

R μ β ν α = 1 R S 2 ( δ β α g μ ν − δ ν α g μ β ) {\displaystyle R_{\mu \beta \nu }^{\alpha }={\frac {1}{R_{S}^{2}}}\left(\delta _{\beta }^{\alpha }g_{\mu \nu }-\delta _{\nu }^{\alpha }g_{\mu \beta }\right)}

(209)

Ngoài những tính chất đối xứng nêu trên, tenxơ Riemann cũng tuân theo các liên hệ vi phân sau (còn gọi là các đồng nhất thức Bianchi thứ hai)

∇ [ μ R ν α ] β γ = 0 {\displaystyle \nabla _{[\mu }R_{\nu \alpha ]\beta \gamma }=0}

(210)

∇ [ μ R ν α β ] γ = 0 {\displaystyle \nabla _{[\mu }R_{\nu \alpha \beta ]\gamma }=0}

(211)

Thu gọn chỉ số của phương trình Bianchi (210) hai lần sẽ thu được kết quả quan trọng được sử dụng ở phần sau

∇ μ ( R μ ν − 1 2 g μ ν R ) = ∇ μ G μ ν {\displaystyle \nabla _{\mu }\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)=\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }}

(212)

trong đó ở đây giới thiệu một tenxơ hạng hai, phân kỳ tự do còn gọi là tenxơ Einstein

G μ ν := R μ ν − 1 2 g μ ν R {\displaystyle G^{\mu \nu }:=R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R}

(213)

Tenxơ Ricci có N(N+1)/2 thành phần độc lập và do vậy tenxơ Riemann có số thành phần độc lập nhiều hơn tenxơ Ricci trong đa tạp có số chiều N > 3. Hơn nữa, ten xơ Riemann cũng nhận sự phân tích thành một tenxơ khác, tenxơ Weyl (mang tên Hermann Weyl) định nghĩa bằng

C μ ν α β := R μ ν α β − 2 N − 2 ( δ [ α μ R β ] ν + g ν [ β R α ] μ ) + 2 R ( N − 1 ) ( N − 2 ) δ [ α μ g β ] ν {\displaystyle C^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }:=R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }-{\frac {2}{N-2}}\left(\delta _{[\alpha }^{\mu }R_{\beta ]\nu }+g_{\nu [\beta }R_{\alpha ]}^{\mu }\right)+{\frac {2R}{(N-1)(N-2)}}\delta _{[\alpha }^{\mu }g_{\beta ]\nu }}

(214)

Tenxơ Weyl triệt tiêu trong bất kỳ đa tạp nào có số chiều N < 4, nó có vết tự do và có cùng các tính chất đối xứng như tenxơ Riemann. Tương tự như tenxơ Riemann, tenxơ Weyl thể hiện lực thủy triều chịu bởi một vật chuyển động trong trường hấp dẫn (hay trong không thời gian cong). Tuy nhiên, khác với tenxơ độ cong, tenxơ Weyl cung cấp thông tin về hình dáng vật thể bị biến dạng như thế nào chứ không phải về thể tích của nó thay đổi bao nhiêu. Tenxơ Weyl đặc biệt hữu ích trong tính toán bức xạ hấp dẫn hình thành trong các mô phỏng số tương đối tính thông qua hình thức luận Newman-Penrose.